MAPA MENTAL DE SOLUCIONES DE FACTORIZACION

Factor común:

4x²-8x=0  (4x) (x-2)=0

Para resolver un factor común, primero se tiene que sacar el “Máximo Común Divisor”

M.C.D.=4          

Luego se saca el factor común, el cual divide a todos los términos.

Igualamos a cero:

4x=0

x=0

    4

x=0

x-2=0

x=0+2

x=2

Esto quiere decir que cuando igualamos a cero los términos que se encuentran dentro del paréntesis tenemos que resolverlos para sacar el valor de x.

Comprobación:

4x²-8x=0 

X=0

4(0)²-8(0)=0

4(0)-0=0

0-0=0

0=0

4x²-8x=0 

X=2

4(2)²-8(2)=0

4(4)-16=0

16-16=0

0=0

Para comprobar si los resultados son correctos, tenemos que sustituir la x por uno de los dos resultados, después quitamos paréntesis poniendo los signos correctos, porque al multiplicar, si los signos son diferentes es - , y si son iguales es +. Pero si al momento de sumar o restar cuando ya hayas quitado todos los paréntesis, no te da cero, eso quiere decir que está mal.

Trinomio cuadrado perfecto:

Para identificar un trinomio cuadrado perfecto, dos de sus tres términos debe llevar raíz cuadrada y uno de ellos no lleva letra. Debes tener cuidado porque te las pueden dar desordenadas, por eso tienes que acomodar los que tienen raíz cuadrada en los costados del que no tiene, y el que esta del costado derecho es el que no lleva letra, aunque en ciertos casos si lleva. A continuación veras uno de forma ordenada.

Ejemplo:

x²+10x+25=0

Sacamos raíz cuadrada:

X²=x

25=5

Cuando se multiplica siempre se hace por dos:

(x)(2)(5)=10x

Esto se hace para comprobar si el término que no tiene raíz cuadrada queda de la misma manera.

Se pone la letra y el número que anteriormente multiplicamos por 2, sin embargo el dos no se pone porque solo nos sirvió para multiplicar.

Debe quedar de esta manera:

(x+5)

Igualamos a cero:

x+5=0

x=0-5

x=-5

Cuando igualamos a cero, y pasamos el numero del lado contrario su signo cambia.

Comprobación:

x²+10x+25=0

x=-5

(-5)²+10x+25=0

25+10(-5)+25=0

25-50+25=0

-25+25=0

0=0

Comenzamos remplazando la x, después fuimos quitando paréntesis y al final nos dio el resultado.

Trinomio de segundo grado:

El trinomio de segundo grado puede confundirse con trinomio cuadrado perfecto, sin embargo a pesar de que dos términos tengan raíz cuadrada, al momento de querer resolverlo y multiplicarlo por 2, el resultado no será igual, por lo tanto lo que hay que hacer para resolverlo es lo siguiente:

Ejemplo:

x²+5x+6=0

Sacar raíz cuadrada:

x²=x

Estos se dividen en: termino cuadrático, termino lineal y termino independiente.

luego tenemos que buscar números que sumados den la cantidad del segundo término, en este caso 5, y que los mismos números de la suma al multiplicarlos den el resultado del tercer término, en este caso 6, para que no sea tan difícil encontrar los números es preferible empezar multiplicando, por lo que quedaría de la siguiente manera:

( 2 )( 3)=10

( 2+3 )=12

Cuando haces la suma y la multiplicación es importante como ordenaste los números, porque el primer número que pongas es el primero que deba ir antes en todo.

Como los dos son positivos debe de quedar así:

(x+2)(x+3)=0

cuando factorizamos, a esto se le llama binomios con termino común.

Igualamos a cero:

x+2=0

x=0-2

x=-2

x+3=0

x=0-3

x=-3

Comprobación:

x²+5x+6=0

x=-2

(-2)²+5(-2)+6=0

4-10+6=0

-6+6=0

0=0

x²+5x+6=0

x=-3

(-3)²+5(-3)+6=0

9-15+6=0

-6+6=0

0=0

Remplazamos la x, después quitamos paréntesis, pero si tienes un signo menos en el término que se multiplica por si mismo, queda como mas, porque menos por menos es +, y cuando llegamos a la parte para comprobar que el resultado de dos términos iguales, el sigo de menos tenía un mayor numero por lo que se conserva, al final como quedo signo menos y sigo mas con la misma cantidad se cancelan porque queda como cero.

Diferencia de cuadrados:

En diferencia de cuadrados, solo tienen dos términos, los cuales tienen raíz cuadrada.

Ejemplo:

x²-81=0

Estos se dividen en: diferencia de cuadrados.

Sacamos raíz cuadrada:

x²=x

81=9

Cuando llegamos a los binomios conjugados debe quedar así:

(x+9)(x-9)

Cuando se hace este caso de factorización los términos son los mismos pero los signos no.

Igualamos a cero:

x+9=0

x=0-9

x=-9

x-9=0

x=0+9

x=9

Comprobación:

x²+81=0

x=-9

(-9)²-81=0

81-81=0

x²+81=0

x=9

(9)²-81=0

81-81=0

0=0

En la comprobación sustituimos, quitamos paréntesis y restamos.

Video:

http://www.youtube.com/watch?v=F-cMiv9MbBQ

en este vídeo te muestran como identificar el trinomio de segundo grado, también como lo vas a ir resolviendo, es decir, te muestra como es que lo sumas y lo multiplicas, a igualarlo a cero y al final hacer la comprobación para verificar que los números que utilizaste para sustituir x son correctos.

http://www.youtube.com/watch?v=S1DaMbS_6gQ
en este vídeo te muestra también dos ecuaciones que se pueden resolver por medio de factorizacion, y como van resolviéndolo, solo que cuando lo explica casi no se entiende, pero poco a poco le vas captando, porque ves que en realidad que es lo mismo solo que el lo tiene ordenado diferente, es decir saca la factorizacion, después lo iguala y de ultimo saca la soluciones solo que mas corto.

 Power point:

http://www.slideshare.net/LolaVampire/soluciones-de-factorizacion

En este tema aprendí a como ir resolviendo los casos de factorización parte por parte, es decir, a sacar raíz cuadrada, después de eso a como igualarlo a cero, seguido de la comprobación en la cual se sabe si al final todo esta correcto, también a como diferenciar cada caso y resolverlo como se debe de hacer, ya que no son de la misma manera y que si lo quiere resolver y no da el resultado es porque pude ser otro caso ya que a pesar de todo uno se puede confundir porque todo son similares, también medio aprendí a cómo resolverlo con fracciones y que no  todo el procedimiento es igual a los demás antes de iguala a cero.

MAPA MENTAL DE REDUCCIONES ALGEBRAICAS

Reducción de expresiones algebraicas

Términos semejantes

En muchas ecuaciones tenemos términos que son semejantes, es decir, que poseen el mismo factor literal y muchas también poseen constantes, términos que no tienen una variable y que también son considerados semejantes entre ellos. 

Una expresión algebraica estará en su forma reducida si no posee términos semejantes ni paréntesis.

Veamos algunos ejemplos:

Algo que debes considerar al reducir términos semejantes son las propiedades de las operaciones, tanto de la suma como de la multiplicación.

Observemos un ejemplo:

Paréntesis

Para reducir expresiones algebraicas debemos partir por los paréntesis si es que los hay.

Veamos el siguiente ejemplo:

Luego de los paréntesis, debemos resolver las multiplicaciones y divisiones y por último las sumas y restas.

Expresión algebraica:

Es el resultado de combinar uno o más términos algebraicos mediante las operaciones de adición y/o sustracción. Por ejemplo:

     2b

Se denomina grado de un término algebraico, a la suma de los exponentes de su factor literal, por ejemplo:

3xy

tiene grado 1 + 2 = 3; 

tiene grado 

.

Cuando una expresión algebraica tiene un sólo termino algebraico, recibe el nombre de Monomio. Si la expresión algebraica tiene dos términos algebraicos recibe el nombre de Binomio. Si tiene tres términos algebraicos, recibe el nombre de Trinomio. Y en caso contrario si tiene más de tres términos algebraicos, se denomina Multinomio.

Además, las expresiones algebraicas con exponentes positivos se llaman polinomios.

Por ejemplo:

(i) 3xy²

es un monomio (polinomio), pues tiene un solo término algebraico (con exponentes positivos).

(ii) -ab+8x²

es un binomio ( y es un polinomio).

(iii) 

es un trinomio ( y es un polinomio).

  es un monomio (que no es un polinomio).

  es un binomio ( que no es polinomio)

Valorización de expresiones algebraicas

Valorar una expresión algebraica es reemplazar cada variable por un valor numérico que le corresponde y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final.

Por ejemplo valoremos las siguientes expresiones algebraicas:

(i) El área de un triángulo se determina como el semiproducto entre la base y la altura, esto es: en donde : base y : altura. Entonces si y tenemos que:

(ii)3x²-xy+2xy² 

si x=-1

e y=2

Primero reemplazamos las variables, esto es:

Luego realizamos todas las operaciones con su orden respectivo

(iii) 

si a=3

, b=2

y c=-2

En forma análoga al ejercicio anterior, reemplazamos las variables en primer lugar:

Luego realizamos las operaciones correspondientes:

(iv) si

Entonces reemplazando en la expresión algebraica tenemos:

Reducción de términos semejantes

Los términos semejantes son los términos algebraicos que tienen el mismo factor literal, es decir, deben tener las mismas letras con los mismos exponentes. Por ejemplo: 5x²y

es término semejante con -2x²y

. El término 

es término semejante con 8c²ab

.

La reducción de términos semejantes consiste en sumar o restar éstos términos que se encuentran en alguna expresión algebraica.

Algunos ejemplos de la reducción de expresiones algebraicas son los siguientes:

(i) De acuerdo a la siguiente la figura determina el perímetro

Entonces el perímetro de la figura, es la suma de las medidas de todos sus lados, esto es: en este caso hay tres términos algebraicos cuyo factor literal es por lo cual se pueden sumar. También hay tres términos algebraicos que tienen factor literal por lo cual se pueden sumar. Por lo tanto

(ii) -2a²b-3a+2+5ab-8a+15+18ba²-14a

En este ejemplo hay dos términos cuyo factor literal es a²b, estos términos son semejantes, por lo cual se pueden sumar. También hay tres términos que tienen factor literal  ”a”, por tanto, son términos semejantes y se pueden sumar. En la expresión algebraica tenemos números solos (sin factor literal), por tal se suman. Haciendo estas operaciones la expresión en (ii) nos queda:

(iii)3xy-yz+5yx-10zx+3yx-12zy-13xz+yz 

En este ejemplo hay tres términos que tienen factor literal “xy”, por lo cual son términos semejantes y se pueden sumar. También ocurre lo mismo con los términos que tienen factor literal “zy”

y “xz”

, los cuales son términos semejantes y se pueden sumar. Reduciendo términos semejantes, nos queda:

3xy-yz+5yx-10zx+3yx-12zy-13xz+yz=11xy-12yz-23xz

Uso de paréntesis

En álgebra, al igual que en aritmética, los paréntesis nos sirven para indicar que las operaciones que ellos encierran tienen prioridad ante las demás, o bien para indicar lo que está dentro de ellos debe ser considerado como un todo.

Para suprimir los paréntesis en una expresión algebraica se siguen las siguientes reglas:

(i) Si un paréntesis es precedido por un signo positivo, entonces se puede suprimir sin cambiar los signos de los términos que están dentro de ellos.

(ii) En caso contrario, esto es si un paréntesis es precedido por signo negativo, entonces al suprimir el paréntesis los términos que están dentro de él cambian de signo.

En el caso que a un paréntesis no le preceda ningún signo, entonces se entiende que el paréntesis tiene un signo positivo.

Por ejemplo, en la siguiente expresión, suprimir los paréntesis y reducir los términos semejantes.

3x-(-2y+4x+18y)+(-7x+-3y+x)-5x

Para resolver este ejercicio se puede hacer de dos formas, una es eliminar inmediatamente los paréntesis y luego reducir los términos semejantes. La segunda forma es reducir los términos semejantes dentro del paréntesis y luego eliminar los paréntesis, y nuevamente reducir términos semejantes. Aplicaremos la segunda forma:

En algunas expresiones algebraicas hay más de un paréntesis, en estos casos para eliminar los paréntesis, se suprime primero los paréntesis que están al interior de otro y así sucesivamente. Aunque también se puede hacer de la forma contraria, es decir, eliminar primero los paréntesis desde el exterior hasta llegar a los interiores, es poco común proceder así ya que resulta más complicado.

Por ejemplo, en la siguiente expresión, suprimir los paréntesis y reducir los términos semejantes

(i) 

Para este ejemplo, en primer lugar, suprimimos los paréntesis interiores hasta llegar a los exteriores y luego reducimos los términos semejantes. Entonces:

Para verificar lo dicho respecto de las mayores dificultades para eliminar los paréntesis desde afuera hacia adentro, el lector puede hacerlo en este caso.

(ii) 

Al igual que el ejemplo anterior, empezamos suprimiendo los paréntesis que están más al interior hasta llegar al más exterior y luego reducimos los términos semejantes, esto es:

Multiplicación de expresiones algebraicas

Para multiplicar expresiones algebraicas veremos, en primer lugar, la más simple de ella: a saber, la multiplicación de monomio por monomio.Esta se realiza multiplicando los coeficientes numéricos y multiplicando la parte literal, aplicando las propiedades de las potencias. Por ejemplo, multipliquemos los monomios:

Para multiplicar un monomio por un binomio, utilizamos la propiedad de la distributividad de la multiplicación con respecto a la adición, esto es:

a(b+c)=ab+ac=ba+ca=(b+c)a

Algunos ejemplos de multiplicación de monomio por binomio son los siguientes:

(i) En el rectángulo de la figura, determinar su área.

Sabemos que el área de un rectángulo es el producto de su largo por su ancho, entonces tenemos:

Ärea rectángulo es

(ii) 

(iii) 

En general, esta propiedad (distributividad de la multiplicación con respecto a la adición) la utilizamos para multiplicar un monomio con cualquier multinomio. Por ejemplo:

Para multiplicar un binomio por un binomio, también utilizamos la propiedad de la distributividad de la multiplicación con respecto a la adición. Esto es:

(a+b) (c+d)=ac+ad+bc+bd

Por ejemplo:

Luego, reduciendo términos semejantes, nos queda: 3x²-2xy-y² 

Para multiplicar un binomio por un multinomio, o en general cualquier multinomio por un multinomio, aplicamos la propiedad mencionada anteriormente. Por ejemplo:

Reduciendo términos semejantes, obtenemos: 4a²-26ab+ac-6bc+12b² 


Vídeo:

http://www.youtube.com/watch?v=mLflDFKp_sY
En este vídeo te muestran algunos ejemplos y conceptos de lo que viene siendo reducción de ecuaciones, y te explica cuales son los errores que puedes tener al resolverlo, también te muestran los pasos de como ir resolviendo el problema.

Power Point:

http://www.slideshare.net/LolaVampire/reduccion-de-ecuaciones-algebraicas-28982616

http://www.slideshare.net/LolaVampire/reducciones-algebraicas-28982620

lo que aprendí de este tema es como se va reduciendo, en pesando por quitar el paréntesis, sin olvidar que cuando se hace multiplicaciones se tiene que tener cuidado con los signos, también cuando se acomodan y cuando sea el momento de cambiar términos antes de = se cambia el signo que tenia anteriormente y al final solo queda la suma y la resta que se tenga que hacer, sin embargo cuando alguna tenga un exponente y no haya otro igual a ese, simplemente se baja tal y como esta, y cuando al final de todo, el primer termino tiene sigo menos, todo el resultado se divide entre menos uno (-1) ya que no se puede quedar con ese sigo, esto quiere decir que queda el primer termino como mas.