CASOS DE FACTORIZACION

MAPA MENTAL DE CASOS DE FACTORIZACION

FACTORIZACIÓN

Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.

La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado.

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.

       Factorización

      Multiplicación

Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus factores. Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los multipliquemos, escribiremos 3x5=15. En el proceso inverso, tenemos el producto 15 y se nos pide que lo factoricemos; entonces tendremos 15=3x5

De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir factorizarlo por completo. Además se supone que los factores numéricos son números primos. De esta manera no factorizamos 20 como 
.

Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas expresiones algebraicas.

1.- Factor común.

Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos descubrir un patrón.

Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos que: a(b+c)=ab+ac. Cuando factorizamos ab+ac=(b+c) .

Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común. Aquí tenemos como hacerlo:

Máximo factor común (MFC).- El término, es el MFC de un polinomio sí:

a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y

n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.

De este modo para factorizar6x³+18x², podríamos escribir 6x³ᵻ18x²=3x(2x²ᵻ6x) 

Pero no está factorizado por completo por que 2x²+6x  puede factorizarse aún más. Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en todos los términos es x². De esta manera la factorización completa es  6x+18x²=6x²(x+3. Donde 6x² es el MFC.

EJEMPLO:

              

Factorizar  

EJEMPLO:

Factorizar  

EJEMPLO:

Factorizar  

EJEMPLO:

Factorizar  

EJEMPLO:

Factorizar  

EJEMPLO:

Factorizar  

EJEMPLO:    

Factorizar  

2.-Factor común agrupamiento.

Agrupar las expresiones para determinar un factor común.

Ejemplo: ac+bc+ad+bd

Agrupar: =(ac+bc)+(ad+bd)

Sacar factor comun de cada grupo: c(a+b)+d(a+b)

Tenemos otro factor común: =(a+b)(c+d)

3.-Diferencia de cuadrados.

Aquí tenemos un producto notable (A+B)(A-B)=A²-B² podemos utilizar esta relación para factorizar una diferencia de cuadrados. A²-B² =(A+B)(A-B)

EJEMPLO:

Factorizar  

EJEMPLO:

Factorizar 

EJEMPLO:

Factorizar 

4.-Trinomios con término de segundo grado.

Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es un trinomio; tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.

Los trinomios x²+6xᵻ9, x²-6xᵻ9 , son trinomios cuadrados porque son cuadrados de un binomio.

Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado.

Dos de los términos deben de ser cuadrados A² y B²

No debe haber signo de menos en A² o en B²

Si multiplicamos A y B y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término 2AB o su inverso aditivo -2AB.

 ¿Es x²ᵻ6xᵻ11 un trinomio cuadrado? La respuesta es no porqué solo hay un término al cuadrado (x²) y (11) no es cuadrado de algún número.

Para factorizar trinomios cuadrados podemos utilizar las siguientes relaciones:

Hay que recordar que se deben de sacar primero los factores comunes, si es posible.

5.-Suma y diferencia de cubos.

Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada ecuación, las siguientes fórmulas de factorización para la suma y  la  diferencia de dos cubos.

 

Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la fórmula de factorización y usamos los siguientes valores A=y,  y B=3, obtenemos:

 

EJEMPLO:

Factorizar 

EJEMPLO:

Factorizar 

6.-Combinación de cuadrado perfecto y diferencia de cuadrado.

Se deban agrupar para formar cuadrados perfectos y luego se descompone la diferencia de cuadrados.

Ejemplo: a²+2ab+b²-25m²

Agrupamos: =(a²+2ab+b²)-25m²

Resolvemos el cuadrado perfecto: =(a+b)²-25m²

7.-Por Agrupación.

Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con cuatro términos. Consideremos x³+x²+2x+2. No hay ningún factor diferente de 1. Sin embargo podemos factorizar a  x³+x y 2x+2 por separado:

x³+x²=x²(x+1)         2x+2=2(x+1) 

Por lo tanto x³+x²+2x+2=x²(x+1)+2(x+1). Podemos utilizar la propiedad distributiva una vez más y sacamos el factor común: x+1

x²(x+1)+2(x+1)=(x+1)+(2+x²)

Este método se llama factorización por grupos (o por agrupación). No todas las expresiones con cuatro términos se pueden factorizar con este método.

EJEMPLO:

EJEMPLO:

Factorizar

EJEMPLO:

Factorizar

EJEMPLO:

Factorizar

8.-Trinomio de la forma x²+bx+c: se debe encontrar dos números cuya suma algebraica se a b y cuyo producto sea c.

Ejemplo: x²+5x+6

=(x )(x )

Suma sea +5 y multiplicación +6; los números son 2 y 3: =(x+2)(x+3)

+2+3=+5   y    (+2)(+3)=+6

9.-Por factor común (caso polinomio):

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en encueta aquí el factor común no solo cuenta con un término si no con dos.

Ejemplo descomponer: x(a+b)+m(a+b)

Estos 2 terminos tienen como actor común el binomio (a+b) por lo que se pone (a+b) como coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes de dividir los términos de la expresión dada entre el factor común (a+b), o sea:

x(a+b)              m(a+b)

           =x  y                 =m y se tiene:

  (a+b)                 (a+b)

x(a+b)+m(a+b)=(a+b)(x+m)

Video

http://www.youtube.com/watch?v=LWyZSXsMAr8
en este vídeo te explican como resolver el problema sacando su máximo común divisor, te muestra como debe de ir acomodado para que al momento de hacer la comprobación el resultado sea el mismo.

 http://www.youtube.com/watch?v=kbQwYQ5Myws
En este vídeo te muestra las partes de casos de factorizacion, algunas características y cuando se tiene que aplicar, te va explicando un poco mas detalladamente como ir resolviéndolo, también te darás cuenta de que te lo explica sin necesidad de números es decir con dibujos.

Power Point:

http://www.slideshare.net/argsebas/polinomios-power-point

http://www.slideshare.net/mariodefloranrodriguez/factor-comn-16223375

En este tema pude entender a como resolver los problemas buscando el maximo comun divisor y el factor común, también saber cuando se hace la operación completa con comprobación igual a cero o
lo único que se hacia era dividir los números para sacar el factor común y luego comprobar si es correcto multiplicandolo