EJERCICIOS DE GRAFICAR ECUACIONES LINEALES, CUADRÁTICAS Y CUBICAS.

Graficacion de una ecuación lineal:

Si en la ecuación 2x – 3y = 0, x es sustituida por cero (hacemos x = 0 tenemos (2)(0) – 3y = 0; de donde obtenemos quey = 0 también. Esto es, si x= 0 entonces y= 0, por lo que (0,0) es un par ordenado cuyos componentes hacen cierta la ecuación 2x – 3y = 0.

Siendo así que (0,0) es una solución de dicha ecuación, la gráfica de (0,0) es la intersección de los ejes coordenados en el mismo punto. O(0,0). Si queremos graficar la recta antes mencionada debemos encontrar al menos otra solución de su ecuación, como x   R podemos asignarle a x cualquier valor real y determinar el correspondiente de y, por comodidad hagamos x=3, entonces la ecuación queda (2)(3) – 3y = 0, y al resolverla para y tenemos 3y = 6 ó y = 2;siendo entonces (3,2) la solución buscada, ahora graficamos los puntos correspondientes (0,0) (3,2) y por ellos trazamos la gráfica de la ecuación 2x – 3y = 0 mostrada a continuación:

Graficar la ecuación lineal: y – 2 = 0.

Esta ecuación podemos escribirla como 0x + y – 2 = 0, de esta expresión podemos entender que el que no aparezca el término en x (Ax) en la ecuación lineal significa que el coeficiente de x es cero A = 0 y que por consecuencia A = 0 para todo x   R y dado que 0 es el elemento identidad para la suma, la ecuación puede escribirse como y – 2 = 0 ó y = 2. De lo anterior debemos entender que sea cual sea el valor asignado a x la ecuación siempre queda como y = 2 o sea que yno cambia de valor (es constante) y es igual a 2 para cualquier valor asignado a x, en consecuencia la gráfica consta de todos los puntos del plano cuya ordenada (y) es 2.

Graficar la ecuación lineal: x – 2 = 0.

Esta ecuación puede escribirse como x + 0y – 2= 0, y podemos notar que para cualquier valor de y, y   R, x siempre es igual a 2.

La siguiente gráfica ilustra claramente los ejemplos 7 y 8:

Graficacion de ecuaciones cuadráticas:

Determina, por este orden, las coordenadas de los puntos A, B, el vértice V y el punto C de la parábola

y = x² - x + 1 .

a.   A está situado en el eje Y, es decir sus coordenadas son de la forma A(0,y). Puesto que A pertenece a la parábola, y = 0²- 0 + 1, y = 1. Luego A = (0,1).

b.   B ha de ser de la forma (x,1), por tanto, 1 = x² - x + 1; 0 = x²- x, 0 = x · (x - 1) de soluciones x = 0 y x = 1. Luego B = (1,1).

c.   La 1ª coordenada del vértice está situada en el punto medio del segmento de extremos 0 y 1, es decir,  . La 2ª coordenada se obtiene con la ecuación y = (0'5)²- 0'5 + 1 = 0'75. Las coordenadas del vértice serán V = (0'5,0'75).

d.   Utilizando la simetría de la parábola puedo calcular la 1ª coordenada de C, x = 2. Por lo tanto,

y = 2²-2+1=3. C = (2,3).

Este método se puede generalizar a cualquier parábola de ecuación y = ax² + bx + c y nos permitirá hallar el vértice de forma inmediata.

Obtención general del vértice

Sea la parábola y = ax² + bx + c

Localizado el corte con el eje Y, (0,c) hallamos su simétrico resolviendo el sistema  .

Igualando:

a x² + b x + c = c → a x²  + b x = 0  → x (a x + b) = 0; es decir, x = 0 ó ax + b = 0 que nos lleva a la solución x = -b/a.

La primer coordenada del vértice coincide con el punto medio del segmento de extremos 0 y - b/a, es decir, p = - b/2a

Ejemplo

Si  f(x) = x² + 4 x + 3, entonces   y f(2) = -1. Y el vértice será V = (2,-1).

Graficacion de ecuaciones cubicas:

Grafique y obtenga el dominio y el recorrido de f(x) = 2x³ + 3x² – 12x.

Generamos una tabla de valores, graficamos y verificamos el dominio y el recorrido.

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 f(x) –32 9 20 13 0 –7 4 45